La rotazione di Giove e Saturno

 

Il problema delle rotazioni planetarie è stato stranamente ignorato dagli astronomi; non molto è stato scritto su questo argomento, per lo meno in tempi recenti. I periodi di rotazione e l’inclinazione degli assi di Mercurio e Venere sono stati molto influenzati dall’attrito delle maree che il Sole provoca all’interno di questi pianeti. Poiché di conseguenza non abbiamo dati sulla rotazione iniziale di Mercurio, non possiamo dedurre nulla da questo pianeta. Qualcosa di importante può invece esser dedotto da Venere, in quanto la rotazione di Venere è retrograda. Ad eccezione del curioso caso di Urano, tutti gli altri pianeti ruotano nel senso diretto, cioè nel verso concorde alla loro rotazione intorno al Sole. Se non fosse per l’esempio di Venere, potremmo facilmente cadere nell’errore di supporre che i processi che diedero origine alle rotazioni dei pianeti costrinsero le rotazioni ad essere dirette. Venere mostra che se anche i processi hanno favorito la rotazione diretta essi non la richiedevano necessariamente.

Il periodo di rotazione della Terra e la sua inclinazione assiale sono stati anch’essi influenzati dall’attrito delle maree, ma più per la Luna che per il Sole. Di quanto i valori attuali differiscano da quelli iniziali però non possiamo dire, perché gli effetti delle maree nel passato remoto non possono essere valutati. Gli effetti delle maree dipendono dalla configurazione dei margini delle terre emerse e dai mari e abbiamo scarse idee sulla configurazione durante il primo 90% della storia della Terra.

Un periodo iniziale di rotazione di 12 ore e una inclinazione assiale di 15° sarebbero delle congetture ragionevoli ma niente di più.

In questo capitolo desidero occuparmi dapprima della rotazione di Giove e verso la fine di quella di Saturno, rimandando la considerazione degli altri pianeti al prossimo capitolo. La ragione per cui comincerò da Giove è che Giove è il caso più chiaro: la sua rotazione è al più veloce, è diretta e l’asse di rotazione è quasi perpendicolare al piano dell’orbita. Inoltre è probabile che Giove abbia accumulato la maggior parte della sua massa a partire dall’idrogeno e dall’elio gassosi che si muovevano intorno al Sole in orbite pressoché circolari, con la velocità orbitale alla distanza R dal Sole data dalla formula di Keplero (GMo/R)1/2. Oltre a queste semplificazioni è probabile che per Giove vi sia stata una sola condensazione, senza collisioni tra numerosi corpi in aggregazione che complichino il problema.

Eppure, nonostante tutti questi vantaggi è al di là delle nostre possibilità calcolare l’accumulazione di Giove senza ricorrere a ulteriori semplificazioni. Fortunatamente però, tre approssimazioni ragionevoli trasformano una situazione inavvicinabile in una che può essere affrontata con metodi alquanto elementari.

La prima approssimazione consiste nel considerare i piani orbitali in cui si muovono gli elementi gassosi, idrogeno ed elio, paralleli al paino dell’orbita di Giove. La seconda è di trascurare i gradienti di pressione nel gas in confronto all’effetto sul gas dei campi gravitazionali del Sole e di Giove; questo equivale a considerare il gas come uno sciame di particelle indipendenti. La terza approssimazione riguarda il cerchio raffigurato qua sotto:

un cerchio con il centro in Giove, giacente sul piano dell’orbita solare di Giove, con un raggio a = R(Mj/2Mo)1/3, dove Mj è al massa di Giove ad ogni stadio di accumulazione che desidero considerare (qui R è il raggio dell’orbita di Giove). Al di fuori del cerchio della figura soprastante, il campo gravitazionale del Sole ha una influenza sulle particelle del gas maggiore di quella che ha il campo gravitazionale di Giove, mentre all’interno del cerchio si verifica l’inverso. Poiché la transizione da una situazione all’altra è piuttosto netta (per un cerchio con raggio doppio, il campo del Sole sarebbe quasi 10 volte più importante nel suo effetto sul gas di quello di Giove, mentre per un cerchio di raggio metà si avrebbe l’inverso) si ha una rappresentazione accettabile della situazione nel supporre che di fuori del cerchio le particelle si muovono solo sotto l’effetto del Sole, mentre all’interno del cerchio si muovono esclusivamente sotto l’effetto di Giove. Questa terza approssimazione rende superfluo ricorrere a complessi calcoli col calcolatore elettronico.

Si deve immaginare che il cerchio critico della figura si muova insieme a Giove quando il pianeta in accumulazione percorre la sua orbita di raggio R, con il Sole lontano alla sinistra della figura. Le particelle penetrano nel cerchio attraverso i due quadranti a tratto marcato, ma non attraverso gli altri. Quelle che entrano attraverso il quadrante di nordest lo fanno perché Giove le raggiunge nelle loro orbite (poiché le particelle che entrano nel quadrante di sudovest lo fanno per il motivo opposto: sono esse a raggiungere Giove. Il comportamento delle particelle in penetrazione in un quadrante è identico a quello dell’altro quadrante, cosicché è sufficiente analizzarne uno solo. Io sceglierò qui il quadrante di nordest.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Non è difficile dimostrare che, fatte le semplificazioni appena descritte, una particella che entra nel cerchio a una posizione avente coordinate (x,y) rispetto agli assi disegnati nella figura (assi che sono in movimento solidale con Giove) sarà diretta lungo la direzione PA al momento di entrare nel cerchio, dove PA si determina dalla condizione che tga=x/2y. Né è difficile mostrare che la distanza AJ è data da (2y2-x2)/x, dove un valore positivo implica che A giace alla sinistra di J e un valore negativo che giace alla destra di Giove (J). La velocità della particella rispetto a Giove è data da. Così se la particella è supposta avere massa unitaria, il suo movimento angolare rispetto a Giove è dato da:

.                     (1)

Il momento angolare è relativo ad un asse perpendicolare al piano dell’orbita di Giove, ed è nel senso diretto se la particella P ha attraversato il cerchio in un punto tale che 2y2 è maggiore di x2. Altrimenti il momento angolare è retrogrado.

            Notiamo anche per un gas a densità uniforme, il ritmo al quale le particelle attraversano il cerchio alla posizione (x,y) è proporzionale al prodotto della velocità e di cos b. Così il ritmo al quale la massa attraversa il cerchio in (x,y) è proporzionale a

.

Con qualche manipolazione si può far vedere che questa formula dipende dall’angolo θ (che può essere usato anche per definire la posizione di P) semplicemente come senθcosθ. Allora il ritmo del passaggio ha un massimo per θ = 45°, ed il ritmo cade a zero (ovviamente) sia per θ = 0° sia per θ = 90°.

            Con il seguente artificio possiamo determinare ora il momento angolare medio per massa unitaria di tutte le particelle che attraversano il quadrante di nordest. L’artificio consiste nel distribuire una massa unitaria sopra l’intero quadrante, attribuendo un peso alla posizione θ che abbia l’andamento di senθcosθ. In effetti la massa che attraversa un piccolo angolo di quadrante, quello θ+dθ e θ, si trova essere pari a 2senθcosθdθ. Il momento angolare medio è ora dato da un’integrale, con θ che va da 0° a 90°. L’integrale può essere calcolato, come si suol dire (non tutti gli integrali possono essere calcolati!),

                   I(1)

 e il risultato è:

                    (2);

(l’ultimo fattore nella (2) appare quando si pone nell’integrale x = a cosθ, y = a senθ, a = R(Mj/2Mo)1/3).

            La parte soddisfacente del nostro risultato è che il momento angolare (2) è positivo ed è perciò diretto. La parte insoddisfacente è che ponendo Mj = 1,9 x 1027 Kg, R = 7,783 x 1011 m, Mo = 1,989 x 1030 kg, nella (2) si ottiene un numero marcatamente troppo grande; abbiamo troppo momento angolare, un chiamo caso di ‘troppa grazia, Sant’Antonio’. Naturalmente possiamo dire che Giove aveva una massa minore quando era in formazione, per cui il numero calcolato in questo modo deve essere troppo grande. Inoltre abbiamo considerato solo la situazione sul piano dell’orbita di Giove. Vi saranno dei contributi anche su piani paralleli sopra e sotto quello della figura. La trattazione per questi è simile alla precedente, ma col cerchio critico caratterizzato da un raggio minore di a = R(Mj/2Mo)1/3). Il risultato per questi piani è analogo alla (2) ma con un fattore più piccolo al posto di (Mj/2Mo)2/3. L’effetto di queste riduzioni è però insufficiente. Molti anni fa ho eseguito un calcolo come questo tenendo conto di questi fatti e ho trovato una riduzione media di circa 1/3 della (2):

                     (3),

che è ancora troppo grande – essa infatti porta ad un periodo di rotazione per Giove di un’ora circa, dieci volte più piccolo del valore osservato.

            Evidentemente questo calcolo è stato troppo semplificato e non è nemmeno difficile scoprire dove. Quando noi usiamo la (2) o la (3), per il momento angolare accumulato da Giove, supponiamo implicitamente che Giove riesca a trattenere tutte le particelle che entrano nel cerchio critico attraverso i due quadranti a tratto marcato della figura. Alcune particelle potrebbero uscire dal cerchio attraverso gli altri due quadranti. Per affrontare questo problema attribuiamo a Giove un raggio efficace, reff, con la proprietà che tutte le particelle che si avvicinano ad una distanza minore di reff dal centro del pianeta, sono catturate. Quelle che passano ad una distanza maggiore sfuggono semplicemente dai quadranti sudest o nordovest della figura.

Prima di proseguire nel calcolo, vale la pena notare che reff non è necessariamente paragonabile al raggio normale di Giove, 7,188 x 107 m. Può essere apprezzabilmente maggiore di questo, perché un’atmosfera calda potrebbe estendersi a distanze considerevoli dal pianeta. Le particelle di cui Giove sta appropriandosi hanno una densità piuttosto bassa ( 2 x 1027 kg distribuiti in un volume, diciamo di 2 x 1034 m3, hanno densità di soli 10-7 kg m-3) ed una estensione dell’atmosfera di Giove intrappolerebbe facilmente particelle con bassa densità.

Poiché non abbiamo una conoscenza chiara di quanto dovrebbe valere reff poniamo il problema che vi è un valore critico di reff che separa due situazioni molto diverse.

Tornando ancora alla figura, la particella che attraversa il cerchio ad un angolo θ dà l’impressione che passerà vicino a Giove ad una distanza AJsena. In effetti passa molto più vicina perché sarà deviata dal campo gravitazionale di Giove. Si può vedere che la particella passa ad una distanza r determinata dall’equazione:

                    (4).

I numeri sono tali però che il fattore sotto la radice nella (4) può essere semplificato, perché in tutti i casi di interesse pratico l’unità sotto la radice può essere trascurata. Con questa approssimazione è facile vedere che

               (5)

Allora, affinché avvenga la cattura da parte di Giove, noi imponiamo che il secondo membro della (5) non sia maggiore di reff, cioè:

.             (6)

Se usiamo AJ = (2y2-x2)/x, tga = x/2y, x = acosθ, y = asenθ, a = R(Mj/2Mo)1/3, una semplice riduzione algebrica della (6) porta alla condizione, che deve essere soddisfatta da 3sen2θ-1,

.                 (7)

L’effetto di questa condizione è di limitare l’arco del quadrante nel quale le particelle sono catturate. Le particelle che entrano sul resto del quadrante non si avvicinano a sufficienza a giove per rimanere intrappolate ad reff; esse corrono intorno a Giove e lasciano il cerchio critico della figura attraverso l’uno o l’altro dei quadranti segnati in chiaro. Il valore maggiore di θ al quale le particelle catturate possono entrare nel cerchio, chiamiamolo θ2, è determinato sostituendo |3sen2θ-1| con 3sen2θ-1 e sfruttando la condizione di eguaglianza della (7):

.                (8)

Per ogni valore ragionevole di reff l’equazione (8) ha sempre soluzione. Il valore minimo al quale possono entrare le particelle catturate, chiamiamolo θ1, può essere o zero, θ1 = 0 oppure è dato dall’espressione:

.                (9)

La scelta delle ultime alternative dipende da reff. Se reff è sufficientemente piccolo in modo che il secondo membro della (9) sia minore di uno, allora l’equazione (9) ha soluzione e θ1 è la soluzione. Altrimenti θ1 = 0. Il valore critico di reff, dato da

,                    (10)

distingue i due casi. Per reff minore del secondo membro della (10) l’equazione (9) ha soluzione e le particelle catturate entrano nel cerchio della figura per tutto un arco che va da θ1 determinato dalla (9) fino a θ2 determinato dalla (8). Per reff maggiore di (10), le particelle catturate entrano nel cerchio della figura per tutto un arco che va da θ1 = 0. a θ2 determinato dalla (8).

            Tutto quello che dobbiamo fare ora è considerare un integrale come quello I(1), ma con i limiti dell’integrale che sono i nuovi valori di θ1 e θ2. Il risultato dell’integrale è

,             (11)

che differisce dal risultato precedente (2) solo per l’ultimo fattore. Ora se reff è minore di (10) e θ1 e θ2 sono dati dalla (8) e dalla (9), la sottrazione di queste mostra che l’ultimo fattore della (11) vale esattamente zero. Non vi è alcun momento angolare medio perché l’arco θ1 θ2 è tale che le particelle che forniscono momento angolare diretto sono esattamente compensate da quelle che forniscono momento angolare retrogrado. Tuttavia se reff è maggiore di (10) noi mettiamo θ1 = 0 e sfruttiamo la (8) per θ2, il che dà ora un risultato diretto e non nullo,

.                     (12)

Per questi valori più grandi di reff sono incluse tutte le particelle che danno momento angolare retrogrado ma esse sono sovracompensate da un eccetto di particelle con momento angolare diretto.

            Per calcolare il valore critico di reff dato dalla (10) poniamo Mj = 1,9 x 1027 Kg, R = 7,783 x 1011 m, Mo = 1,989 x 1030 kg. Il risultato è reff = 3,8 x 109 m, che è grande rispetto al raggio del cerchio critico della figura a = R(Mj/2Mo)1/3 = 6,08 x 10 10 m.

            Per fare un esempio con reff maggiore del valore critico 3,8 x 109 m dato dalla (10), poniamo reff = 5,0 x 109 m nella (12). L’ultimo fattore della (12) diviene allora 0,147, il che significa che il momento angolare eccessivo calcolato precedentemente dalla (2) è ridotto per un fattore di circa 7. Se teniamo conto delle modifiche che trasformano la (2) nella (3) e se aggiungiamo anche il coefficiente finale della (12), il risultato per il momento angolare medio per unità di massa nelle particelle acquisite da Giove, sarebbe:

                     (13)

Posta all’equatore attuale di Giove, una particella di massa unitaria con il momento angolare dato dalla (13) avrebbe una velocità rotazionale:

                   (14)

inserendo Mj = 1,9 x 1027 Kg, R = 7,783 x 1011 m, Mo = 1,989 x 1030 kg, rj  = 7,188 x 107 m nella (14) noi otteniamo 12,3 kg s-2, velocità molto vicina all’attuale velocità equatoriale di rotazione di Giove.

Quest’ultimo risultato, sebbene non sia insoddisfacente, lascia ancora molto a desiderare. Perché ref = 5 x 109 m? E come ref giunse ad essere così grande? Per cominciare a rispondere alla seconda domanda facciamo notare un risultato di tipo diverso.

            La densità di un gas in una atmosfera isotermica di un pianeta di massa Mp e raggio rp si abbassa fino ad un valore

 Non nullo rP exp(-(mGMp/ÂTrp)) a una grande distanza dal pianeta. Qui rP è la densità alla base dell’atmosfera, T è la temperatura cinetica, Â è la costante dei gas ( pari a 8,31 J-1 mol-1 K-1), e m è la massa media delle particelle del gas relativa all’atomo di idrogeno come unità di massa. Per un gas composto da atomi di idrogeno ed elio in un rapporto 10/1 (che è quello che avrebbero avuto i gas planetari) m è circa 14/11.

            Definiamo la ‘superficie’ per Giove come un livello nel pianeta dove la densità r è 10 Kg m-3. Se T è sufficientemente grande così che 10exp(-(mGMp/ÂTrp)) kg m-3 sia apprezzabilmente maggiore della densità del gas che attraversa il cerchio della figura, allora è ragionevole supporre che reff sia grande, più grande anche del valore 3,8 x 109 m dato dalla (10). Abbiamo visto sopra che la densità del gas planetario incidente deve essere stata di circa 10-7 kg m-3, e quindi la densità 10exp(-(mGMj/ÂTrj)) kg m-3 supererebbe apprezzabilmente quella del gas che attraversa il cerchio della figura a patto che exp(-(mGMj/ÂTrj)) fosse apprezzabilmente maggiore di 10-8. Allora con:

              (15)

per esempio e con m = 14/11, G = 6,68 x 10–11 N m2 kg-2, Mj = 1,9 x 1027 kg, Â = 8,317 J-1 K-1, rj = 7,188 x 107 m, la (15) dà T = 1,68 x 104 K.

            Questa condizione sulla temperatura è interessante, perché mentre un gas composto di atomi di idrogeno ed elio irradia fortemente quando la temperatura supera i 104 K, un gas simile irradia molto poco per temperature cinetiche inferiori a 104 K. Notiamo poi che la caduta del materiale su Giove genera una velocità di circa 60 km s-1, che sarebbe sufficiente, se non vi fosse irradiazione, per innalzare T per l’atmosfera esterna di Giove molto al di sopra del valore 1,68 x 104 k ottenuto sopra. Una irradiazione rapida ad alta temperatura cinetica, però, abbasserebbe presto la temperatura al di sotto di 104 K, ma non molto al di sotto di questo valore. Quindi, sebbene la stima precedente di 1,6 x 104 K sia superiore alla temperatura che l’atmosfera esterna di Giove può ragionevolmente aver avuto, essa è comunque non troppo superiore alla temperatura effettiva che deve aver avuto.

            Ed ora finalmente siamo in grado di dedurre il periodo di rotazione di Giove con una certa precisione. La condizione (15) dà T essenzialmente proporzionato a Mj, perché rj è quasi indipendente da Mj (Saturno che ha solo un terzo della massa di Giove ciò nonostante ha un raggio grande quasi quanto quello di Giove, 60400 km in confronto a 71880 km). Quindi riducendo M a circa la metà del valore attuale noi riduciamo T da 1,68 x 104 K a circa 8,4 x 103 K; a un valore cioè che era probabilmente ammesso dalla bassa efficienza di radiazione dell’idrogeno e dell’elio.

            Così, fino a circa metà della massa attuale di Giove avrebbe un valore grande per reff, e acquisterebbe perciò un momento angolare diretto intorno da un asse perpendicolare al piano della sua orbita. Non abbiamo bisogno di calcolare un valore preciso di reff. Tutto ciò che ci basta è notare che con reff apprezzabilmente al di sopra del valore dato dalla (10), Giove acquisterebbe tutto il momento angolare che gli sarebbe possibile immagazzinare. Se fosse necessario, il valore medio del momento angolare delle particelle aggiunte potrebbe crescere fino al valore molto elevato del nostro primo calcolo, il valore dato dalla (3). Il momento angolare immagazzinato però non potrebbe divenire troppo grande. Allora esso disperderebbe il momento angolare in eccesso che non potrebbe ricevere. Questo accadrebbe per un periodo di rotazione che possiamo valutare dall’equazione:

                       (16)

cioè un periodo P dato da

                       (17)

Quando usiamo M=1/2 x 1,9 x 1027 kg, r = 6,5 x 107 m (un valore per il raggio intermedio a quelli attuali per Giove e Saturno), allora l’equazione (17) dà P = 4,94 ore.

A partire da1/2 x 1,9 x 1027 kg fino alla massa attuale di 1,9 x 1027 kg, Giove non potrebbe aver mantenuto una temperatura cinetica nella sua atmosfera sufficiente a mantenere reff grande, e allora con reff inferiore al valore dato dalla (15) non vi sarebbe una ulteriore aggiunta di momento angolare durante la seconda metà dell’accumulazione del pianeta. Di conseguenza, il momento angolare per unità di massa all’interno di Giove decresceva in proporzione a 1/Mj, e mentre rj aumentava da 6,5 x 107 m fino al valore attuale del raggio, che è di 7,188 x 107 m, il periodo di rotazione è cresciuto dal valore limite di 4,94 ore fino a circa 12 ore, un risultato in buon accordo col periodo effettivamente osservato di 9,8 ore.

Quando ci rivolgiamo verso il pianeta Saturno abbiamo l’impressione di avere un esempio in parte contrario al precedente. La massa di Saturno, che è circa un terzo di quella di Giove, è sufficientemente bassa per un’accumulazione con un grande reff; così, in accordo con la discussione precedente, potrebbe sembrare che Saturno sia vicino al limite rotazionale della equazione (16). Per Saturno, sostituendo i valori M = 5,7 x 1026 kg, r = 6,04 x 107 m nella (17) si ottiene P = 5,7 ore, mentre il periodo di rotazione di Saturno è in realtà di 10,2 ore. Tuttavia Saturno è il pianeta più appiattito dalla rotazione nel sistema solare, ed è il più vicino al limite di stabilità della (16). Le nostre considerazioni hanno quindi una qualche corrispondenza con i fatti. La situazione poi è ancora migliore di quanto questa corrispondenza tra i valori calcolati e osservati di P non suggerisca, perché Saturno non ruota attorno ad un’asse perpendicolare al piano della sua orbita, una chiara indicazione che Saturno deve essersi condensato da più di un corpo di grandezza considerevole. L’inclinazione dell’asse di rotazione di 21° implica l’esistenza di una componente casuale nella rotazione, provocata dalla collisione di due o più corpi simili e rispettando la seguente condizione:

 Nel sommare le componenti casuali e sistematiche nel denominatore del primo membro di questa equazione si deve prestare la giusta attenzione ai versi, tenendo conto che la componente casuale può essere retrograda o diretta. L’incertezza che si ha qui sui versi non consente di usare Saturno come un contro esempio. I corpi che formano Saturno possono facilmente aver avuto rotazioni molto prossime al limite di stabilità.